اتحادیه بچه های ریاضی فیزیک

هندسه فصل1 (هندسه و استدلال)


آموزش هندسه ۱

فصل ۱ : هندسه و استدلال

استدلال در هندسه

استدلال استقرایی

روش نتیجه گیری بر مبنای مجموعه ی محدودی از مشاهده ها را استدلال استقرایی می گویند.

استدلال استنتاجی

روش نتیجه گیری کلی بر مبنای حقایقی است که درستی آنها را پذیرفته ایم.

تفاوت میان استدلال استقرایی و استدلال استنتاجی

نتایجی که از استدلال استقرایی بدست می آید اثبات نمی کند اما نتایجی که از استدلال استنتاجی بدست می آید کاملاً درست می باشند.

اصول موضوع

آن دسته از گزاره هایی را که بدون اثبات می پذیریم اصول موضوع می گویند.مانند:

۱- از هر دو نقطه متمایز یک خط راست می گذرد

۲- از هر سه نقطه غیر واقع بر یک خط راست تنها یک صفحه عبور می کند

۳- از یک نقطه خارج از خط تنها یک خط به موازات آن می توان رسم کرد.

اصول بدیهی

به اصولی گفته می شود که نیاز به اثبات ندارد و با منطق عمل موافقت دارد. مانند:

1-دو چیز مساوی یک چیز خودشان مساویند.

2- اگر از دو مقداری مساوی مقداری کم کنیم یا به دو مقدار مساوی مقدار مساوی اضافه کنیم حاصل دو مقدار مساوی است

3- جزء همواره از کل کمتر است

مفاهیم اولیه  (تعریف نشده ها)

مفاهیمی هستند که بدون تعریف آنها را به کار می بریم. مانند : خط ، نقطه ، صفحه

اصول هندسه اقلیدسی

۱- از هر نقطه می توان خط مستقیمی به هر نقطه دیگر وصل کرد.

۲-هر پاره خط مستقیم را می توان روی همان خط به صورت نامحدود امتداد داد. (خط مستقیم ابتدا و انتها ندارد)

۳- می توان دایره ای با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم کرد.

۴- همه زوایای قائمه با هم برابرند

۵- از یک نقطه خارج یک خط، یک و فقط یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد

 هم نهشی در مثلث ها

هم نهشتی

تعریف همنهشتی : دو n ضلعی را همنهشت می گوییم هرگاه یک تناظر یک به یک بین رأس های آنها بر قرار باشد. به طوری که اضلاع متناظر با هم و زاویه های متناظر با هم برابر باشند.

مفهومی دیگر از هم نهشتی (کتاب درسی) : دو n ضلعی را همنهشت می گوییم هر گاه دقیقاً بر هم منطبق شوند و یکدیگر را بپوشانند. این ویژگی کامل انطباق شکل ها را هم نهشتی می گویند.

در صورتی دو مثلث ABC و 'A'B'C با هم همنهشت که شرط های زیر همگی برقرار باشند. در این صورت می توان نوشت : 

 اثبات هم نهشتی در مثلث ها (مختلف الزاویه) اگر :

الف ) سه ضلع از یکی با سه ضلع از دیگری مساوی باشد:

اگر مثلث 'A'B'C را طوری کنار مثلث ABC قرار دهیم که 'B'C بر مساوی اش BC قرار می دهیم تا شکل بالا بدست آید:

بنابر این طبق حالت (ض ز ض) این دو مثلث هم نهشت هستند.

ب) دو زاویه وضلع بین از یکی و دو زاویه و ضلع بین از دیگری با هم برابر باشند

 

اگر همانطور که در شکل سمت چپ مشاهده می کنید مثلث 'A'B'C را طوری روی مثلث ABC قرار دهیم که ضلع 'B'C بر مساویش ضلع BC قرار گیرد (مثلث نقطه چین مثلث 'A'B'C می باشد) از آنجا که زوایای Bو B' با هم و C و 'C با هم برابرند پس امتداد ضلع 'A'B بر AB و امتداد 'A'C بر AC قرار می گیرد.

از آنجا که دو خط متقاطع فقط در یک نقطه همدیگر را قطع می کنند نتیجه می شود نقطه ی A حتماً بر 'A قرار می گیرد. در نتیجه دو مثلث هم نهشت هستند

پ ) دو ضلع و زاویه بین از یکی و دو ضلع و زاویه بین از دیگری با هم برابر باشند

اگر همانطور که در شکل سمت چپ ملاحظه می کنید مثلث 'A'B'C را طوری روی مثلث ABC قرار دهیم که زاویه 'A را بر مساویش A قرار گیرد. اضلاع این دو زاویه در امتداد هم قرار می گیرند. و از آنجا که 'A'B با AB مساوی نقطه 'B بر B واقع می شود و از آنجا که 'A'C با AC برابر است پس نقطه 'C بر C واقع می شود. بنا بر این دو مثلث هم نهشت هستند.

 اثبات هم نهشتی در مثلث های قائم الزاویه اگر :

الف ) وتر و یک زاویه حاده از یکی با وتر و یک زاویه حاده از دیگری برابر باشند

از آنجایی که این دو مثلث یک زاویه قائمه هم دارند پس زاویه سومشان هم مساوی است. در نتیجه در حالت (زض ز) هم نهشت هستند

ب) دوضلع زاویه قائمه از یکی با دو ضلع زاویه قائمه از دیگری برابر باشند

از آنجایی که زاویه بین این دو ضلع قائمه است پس طبق حالت (ض ز ض) هم نهشت هستند.

ج ) وتر و یک ضلع قائمه از یکی با وتر و یک ضلع از دیگری برابر باشند

مثلث 'A'B'C را طوری کنار مثلث ABC قرار می دهیم که 'A'B بر مساوی اش AB قرار گیرد. همانطور که مشاهده می کنید در شکل جدید یک مثلث بوجود می آید که دو ساق آن با هم برابر است پس نتیجه می شود زاویه C نیز با 'C برابر می شود. پس در حالت وتر و یک زاویه حاده دو مثلث هم نهشت هستند.

خم ها و چند ضلعی ها

خم

اگر قلمی در صفحه کاغذ حدکت کند خم به وجود می آید

خم مسطح

مجموعه ای از نقاط را که بتوانیم آن را بدون بلند کردن قلم از روی کاغذ رسم کنیم خم مسطح می گوییم

خم ساده

در بین خم های مسطح اگر خمی خودش را قطع نکند و اگر قطع کرد نقطه های انتهایی کاملاً بر هم منطبق باشند آن خم مسطح را ساده می گویند.

خم ساده ی بسته

در حالتی که خم در خم ساده نقطه ابتدایی و انتهایی بر هم منطبق باشند آن خم را ساده ی بسته می نامند.

قضیه خم جردن

هم خم ساده بسته صفحه را به سه زیر مجموعه جدا از هم تقسیم می کند: داخل خم، روی خم، بیرون خم

چند ضلعی ( خم جردن )

یک خم جردن است که از اجتماع حد اقل سه پاره خط تشکیل شده است به طوریکه هیچ سه نقطه متوالی از نقاط انتهایی آن پاره خط روی یک خط قرار نگرفته باشد.

دو رأس مجاور در چند ضلعی

هر دو رأس که نقاط انتهایی یک ضلع باشند دو رأس مجاور خوانده می شوند.

قطر چند ضلعی

هر پاره خطی که دو رأس غیر مجاور یک چند ضلعی را به هم وصل می کند قطر نامیده می شود.

ناحیه

اجتماع یک خم ساده بسته با درون آن یک ناحیه خوانده می شود

ناحیه محدب و ناحیه غیر محدب یا کوژ

ناحیه محدب به ناحیه ای گفته می شود که اگر هر پاره خطی که هر دو نقطه دلخواه ناحیه را به هم وصل می کند رسم کنیم، کاملاً درون ناحیه قرار گیرد در غیر اینصورت ناحیه غیر محدب یا کوژ نامیده می شود.

قضیه : تعداد قطر های یک n ضلعی برابر است با  :

در n ضلعی  از هر رأس به رئوس دیگر (به جز خودش و دو رأس طرفینش) اگر قطر رسم کنیم به ازای هر دو راس دو قطر بدست می آید که با تقسیم کردن آن بر2 تعداد قطر های n ضلعی بدست می آید

 چهار ضلعی ها

متوازی الاضلاع

چهارضلعی است که اضلاع مقابل آن موازی باشند

لوزی

چهار ضلعی است که هر چهار ضلع آن با هم برابر اند یا به عبارت دیگر متوازی الاضلاعی است که دو ضلع مجاور آن با هم برابر اند.

مستطیل

هر چهار ضلعی که چهار زاویه قائمه داشته باشد مستطیل نامیده می شود یا به عبارت دیگر متوازی الاضلاعی است که یک زاویه قائمه دارد

مربع

مربع مستطیلی است که دو ضلع مجاور آن با هم برابرند یا به عبارت دیگر مربع لوزی است که یک زاویه قائمه دارد

ذوزنقه

چهارضلعی است که فقط دو ضلع آن موازی باشد.

 قضایای کتاب درسی و اثبات آنها

قضیه ۱ : زاویه های متقابل به رأس در هر دو خط متقاطع با هم برابرند

قضیه ۲ : اگر دو زاویه مساوی باشند مکمل های آنها نیز با یکدیگر مساوی اند

قضیه ۳ (خطوط موازی) : اگر خط L دو خط L1 و L2 را در نقاط A و B قطع کند و دو زاویه A1 و B1مساوی باشند آنگاه L1 و L2 موازی اند.

اگر بنا را بر این بگذاریم که خطوط L2و L1 با هم موازی نباشند شکل زیر بدست می آید:

همانطور که مشاهده می کنید در مثلث ABC طبق قضیه زاویه خارجی ()  A1 نمی تواند با B1برابر باشد. درصورتی که در حکم داریم که A1 = B1 در نتیجه نمی توانیم بنا را بر موازی نبودن دو خط  L2و Lگذاشت. پس نتیجه می شود دو خط  L2و L1 موازی هستند. (برهان خلف)

قضیه ۳ ( عکس قضیه خطوط موازی) : اگر خط L دو خط موازی  L2و L1 را قطع کند، آن گاه زوایای A1 و B1 مساویند.

خط MN را طوری رسم می کنیم که زاویه MAB برابر با زاویه B1 باشد. در این صورت داریم :

از آنجا که MN موازی با L1 شد و این دو خط در نقطه A مشترک هستند نتیجه می گیریم که دو خط MN و L1 منطبق بر هم هستند. پس زاویه MAB همان زاویه A می باشد با زاویه B برابر است.

قضیه ۴ : مجموع زوایای داخلی مثلث ۱۸۰ درجه است

خط DE را موازی BC رسم می کنیم تا شکل بالا پدید آید. در نتیجه داریم:

قضیه ۵ : در هر مثلث متساوی الساقین زاویه های روبرو به اضلاع مساوی، با یکدیگر مساویند

مطابق شکل بالا در مثلث متساوی الساقین ABC نیم ساز زاویه A را رسم می کنیم. بنا بر این در دو مثلث ABD و ACD داریم :

قضیه ۶: در هر متوازی الاضلاع ضلع های موازی با هم مساوی اند و زاویه های روبرو نیز دو به دو با هم مساوی هستند

قضیه ۷ : نیم ساز های دو زاویه مجانب بر هم عمودند

قضیه ۸ : زاویه خارجی در مثلث برابر است با مجموع زوایای داخلی غیر مجاور

قضیه ۹ : مجموع فواصل هر نقطه در مثلث متساوی الاضلاع از هر ضلع برابر است با ارتفاع مثلث

قضیه ۱۰ : مساحت مثلث برابر است با  : 

قضیه ۱۱ : مساحت در چهارضلعی محدب برابر است با : نصف حاصل ضرب دو قطر در سینوس زاویه بین دو قطر

 

میانخط در مثلث : پاره خطی که اوساط دو ضلع مثلث را به هم وصل می کند اولاً موازی ضلع سوم است. ثانیاً طول آن پاره خط نصف طول ضلع سوم است.

پاره خط NP را به اندازه MN ادامه می دهیم و از نقطه P به C وصل می کنیم تا شکل زیر بدست آید:

عکس میانخط در مثلث : خطی که از وسط یک ضلع مثلث موازی ضلع دیگر رسم شود از وسط ضلع سوم می گذرد و طول قسمتی از آن که درون مثلث قرار می گیرد نصف طول ضلعی است که با آن موازی است.

 فرض می کنیم نقطه 'N وسط پاره خط AC قرار گرفته باشد. آنگاه پاره خط 'MN را رسم می کنیم. طبق میانخط داریم : 'BC || MN و در حکم نیز داریم BC || MN بنا بر این نتیجه می شود که نقاط N و 'N روی هم قرار دارند. پس AN=NC پس میانخط برقرار می باشد.

میانخط در ذوزنقه : خطی که اوساط دو ساق یک ذوزنقه را به هم وصل می کند موازی قاعده هاست و طولش نصف مجموع طول قاعده های ذوزنقه است

مطابق شکل از A به N وصل می کنیم و در راستای AN به اندازه ی AN ادامه می دهیم تا امتداد DC را در نقطه P قطع کند آنگاه داریم :

 

+ نوشته شده در  چهارشنبه بیستم آبان 1388ساعت 21:27  توسط حاتم  |